Claude Opus 4.8 m'a permis de mener à bien une petite recherche en maths que j'avais commencée il y a 45 ans.
Ça décoiffe — comme le vibecoding, ou jadis l'arrivée du chemin de fer.
J'avais vu sur Xwitter l'effet que ça avait fait, en février, à Don Knuth, éminentissime mathématicien et informaticien : "Shocking! Shocking! I learned yesterday that an open problem I’d been working on for several weeks had just been solved by Claude Opus 4.6".
Puis, le 20 mai, OpenAI a annoncé le premier résultat nouveau en mathématiques obtenu par une IA générative sans intervention humaine. Ici une merveilleuse analyse à chaud (le 22 mai !), en français, par l'enseignant-chercheur David Madore. Le 28 mai, j'ai lu les commentaires du panel de mathématiciens consulté par OpenAI : certains compréhensibles, d'autres pointus… On peut y lire par exemple "Thanks to Chat GPT for help finding a convenient reference". C'est une nouvelle ère du colloque !
Je me suis dit que je serais bien bête de ne pas poser à l'IA une question de maths… que je me pose depuis 45 ans.
J'étais en classe de 1ère. Parfois, des anciens élèves venaient remercier leurs enseignants et encourager les lycéens. Ce jour-là, un étudiant à l'École Normale Supérieure, chercheur en maths certainement.
Un lycéen lui a demandé :
— Combien d'années faut-il étudier pour arriver à la frontière de ce qui est connu, et commencer à faire de la recherche ?
— Vous y êtes déjà, répondit-il. Prenez l'énoncé d'un de vos exercices, et changez quelque chose dedans : c'est sans doute un problème non résolu.
Ouaoh.
Nous étions en train de travailler les permutations. Les permutations, c'est quand vous êtes 3 personnes assises sur vos chaises n°1, 2 et 3, et que boum vous devez changer de chaise. Il y a deux façons de noter la permutation :
(3, 1, 2) : la personne sur la chaise n°1 est allée sur la 3 ; la personne sur la n°2, sur la 1 ; la personne sur la n°3, sur la 2.
(1 > 3 > 2) : la personne sur la chaise n°1 est allée sur la 3 ; la personne sur la n°3, sur la 2 ;… et forcément la personne sur la n°2, sur la 1.
Changer quelque chose, ça pouvait être : prendre la 2ème écriture et considérer que c'est la 1ère. C'est à dire passer de la permutation (3, 1, 2) à la permutation (1, 3, 2)*.
Et si on recommence l'opération, passant à la permutation suivante, qu'est-ce qui se passe ?
Les permutations possibles de 3 personnes (ou de n personnes) sont en nombre fini. On doit donc, à un moment, retomber sur les mêmes.
Est-ce qu'on passe par toutes les permutations avant de boucler ? Ou est-ce que ce procédé crée plusieurs "circuits fermés" parmi l'ensemble des permutations ? Dans ce cas, quel est l'effectif de chacun ? Et est-ce que ces nombres ressemblent à quelque chose ? Voilà les questions que je me suis posées.
J'ai pris des feuilles de brouillon et sous la table, pendant les cours de maths, commencé à parcourir comme ça les permutations de 4 éléments, puis de 5… L'année suivante, on est repassé par le même chapitre, j'ai repris mes brouillons et poursuivi avec 6 éléments… Trop peu de cas pour formuler une loi mathématique.
Une vingtaine d'années plus tard, avec la micro-informatique, internet et aux débuts des blogs, j'ai cherché sur les moteurs de recherche et rien trouvé qui ressemblât à mon sujet pourtant si simple. J'ai programmé sur Excel l'exploration jusqu'à n=8 ou 9. J'ai mis en ligne ce que je trouvais sur un petit blog dédié (il en reste un schéma dans archive.org). Sans écho ; et j'ai eu aussi eu 2-3 occasions de croiser des mathématiciens et de leur demander si ça leur disait quelque chose, ou qui contacter, mais sans succès.
Les succès de l'IA en maths m'ont remis sur le sujet. Ce 6 juin 2026, j'ai cherché sur Google s'il y avait un service gratuit de LLM pour les maths (apparemment axiom n'en propose pas), j'ai cliqué sur le premier apparu, et l'ai lancé sur mon sujet, sans même lire les conditions générales.
Le service a, dès la première réponse, trouvé la formulation mathématique de mon opération : elle fait passer de la permutation p à la permutation psp-1, où s est la permutation la plus simple (1 va en 2, 2 va en 3…). Si vous n'avez pas fait de maths depuis un moment, ça vous semblera abstrait, mais quand même : mes dizaines d'heures de gribouillages sur brouillons étaient résumées en 5 caractères ! Une expression que j'aurais parfaitement pu trouver, et en fait dû trouver, avec ce qu'on nous enseignait en 1ère à l'époque. J'étais resté le nez dans le guidon de mes calculs numériques, sans voir cette reformulation simple.
Aussi, le service en ligne a conclu que parmi les "circuits fermés", "il [en] existe toujours [un] de taille ϕ(n) (l'indicatrice d'Euler)." Ça faisait un vrai résultat mathématique, en rapport avec un auteur classique, ça m'a impressionné, car j'ignorais ce qu'est l'indicatrice d'Euler ; même si c'est élémentaire.
Le service concluait que pour aller plus loin, il lui faudrait des "outils mathématiques plus avancés et une recherche bibliographique spécifique".
Là, je me suis rappelé que je payais un abonnement à Claude Cowork/Code !!!
J'ai donc enchaîné avec le modèle le plus fort disponible (car on ne peut pas en changer en cours de conversation) : Opus 4.8 en mode "thinking". Je lui ai reposé la même question, complétée par les deux premiers résultats du premier service.
Opus a remarqué d'emblée que le 2ème résultat fourni, "il [en] existe toujours [un] de taille ϕ(n) (l'indicatrice d'Euler)", n'était pas généralement vrai. Ça m'a incité à persévérer ! Dès le lendemain, j'avais un beau papier de style matheux, en LaTeX, de 8 pages, avec des beaux graphiques et des références… dont le renvoi à une série OEIS sur laquelle était citée un de mes camarades de promotion !
Il y avait aussi une référence à Don Knuth ("Shocking!") : son Art of Computer Programming, Volume 2 — dont la première édition est de 1969 ! — contient un chapitre qui constitue une référence sur les permutations.
Tout ça juste 24 heures après avoir confié mon vague sujet de recherche en français courant, à l'IA.
"Prenez l'énoncé d'un de vos exercices, et changez quelque chose dedans : c'est sans doute un problème non résolu" : c'était vrai ! Un problème non résolu, et assez joli en plus.
Pourtant, d'un point de vue de mathématicien, ce qu'avait trouvé Opus était "récréatif", facile et banal, voire inintéressant : c'était du niveau d'une chanson Suno.
"Prenez l'énoncé d'un de vos exercices, et changez quelque chose dedans : c'est sans doute un problème non résolu"… mais sans doute aussi un problème sans intérêt.
La nouveauté IA, c'est qu'il est devenu si facile de produire du banal, du sans intérêt, en LaTeX, visuellement et formellement proche d'un vrai résultat intéressant de maths.
Une fois passé le "ouaoh", j'ai essayé de pousser Opus à faire moins banal. À trouver des choses plus précises sur mes circuits fermés, et à les démontrer.
Le lendemain, 9 juin, il a démontré un résultat intéressant mathématiquement (selon lui). Mais la preuve était vraiment longue, et passait par plein de termes et de symboles dont j'ignore le sens.
Je lui ai demandé de la réorganiser (refactorer, en jargon IT). Aussitôt, il a trouvé dans sa preuve une erreur ; profonde et bloquante.
J'ai continué comme ça, poussant Opus, soit dans la recherche de résultats, soit dans l'examen de bibliographie, soit dans la construction d'illustrations, en particulier d'animations (parce que c'est beau, les permutations). À l'arrivée, j'avais, comme Opus l'a confirmé, de quoi publier un post de blog ! Et le voici !
Mais pas une publication mathématique, même un simple dépôt sur arXiv.
Pour déposer, il faut une personne capable d'assumer la responsabilité de tout ce qui est écrit. Je n'en suis pas capable.
En vibecoding, même si vous ne lisez pas le code, vous pouvez au moins recetter le fonctionnement, vérifier que "ça marche".
En vibemathing, comment vérifier que "c'est vrai" ? Certes, il existe des vérificateurs automatiques de preuve, par exemple en langage LEAN ; mais pour ça, il faut commencer par traduire tout le "langage mathématique courant" en LEAN,… et qui vérifiera que la traduction est juste ?
Ce que je pouvais faire, c'est demander à un autre LLM de relire et débugger. J'ai demandé à ChatGPT 5.5, qui a trouvé 5 erreurs mineures, qu'Opus a facilement corrigées. J'ai ensuite demandé à Gemini (3.1 Flash extended, 3.1 Pro étant "surchargé" selon le service), qui a répondu n'importe quoi. Quand je lui ai dit, il a apparemment repris de zéro, et il a prétendu que le papier était parfait, ce qui ne m'a pas plus rassuré !
Je me posais plein de questions sur ces résultats, que je ne comprenais, pour la plupart, pas bien… ou pas du tout. J'en ai moins bien dormi ; en tout cas, quand je réveillais la nuit, c'était la tête dans les maths !
Une fois, une remarque de béotien de ma part a mis Opus sur une bonne piste : instant de satisfaction narcissique ! Ainsi je pourrai dire que, si 100% des textes et images sont écrits et produits par IA, moins de 99% des idées de démonstrations ou de graphismes viennent de l'IA 💪.
Mais… chaque heure passée tend à être moins productive que la précédente. Il faut m'arrêter avant de me noyer dans mon propre "AI slop", ma propre bouillIA. Dans cette production qui, sans mathématicien humain, ne peut devenir un morceau, même infime, des mathématiques.
Voyez, sur la vidéo en haut de ce billet, les circuits fermés pour n=8. Chaque point rond est une permutation. Chaque cycle circulaire est une suite de permutations : p -> psp-1 = p' -> p'sp'-1, etc. La rotation dans la vidéo illustre l'effet, sur ces circuits fermés, de l'opération sps-1. Ce que j'aurais bien du mal à vous expliquer.
Post-Scriptum. Comme je l'ai écrit, le papier était de la bouillIA… sauf un résultat qui aurait été un peu intéressant, qu'Opus a cru démontrer, mais finalement c'était faux : le résultat visé était resté une simple conjecture.
Anthropic a accordé aux abonnés à Cowork/Code quelques jours d'ouverture de FABLE 5… J'en ai profité pour lui soumettre, le 6 juillet, le même sujet. Et là, je suis passé du buggy 4x4 qui grimpait facilement les pentes, au char de combat qui écrase les difficultés. FABLE a démontré la conjecture en deux coups de cuillère à pot ; même s'ils ont mangé mes crédits.
Il me reste, de nouveau, pour en faire des mathématiques, à trouver un humain que ça pourrait intéresser.
Je mets à jour les pièces jointes compte tenu de ces nouveaux résultats. Mais ces papiers ont-ils la moindre valeur, si demain, pour toute personne qui se poserait ma question "récréative" de départ, l'IA peut recréer presque instantanément les réponses ?
Pour avoir le point de vue d'un mathématicien sur ce que l'IA fait à sa discipline : ce second billet de David Madore.
Les papiers joints sont mis à jour occasionnellement. Le billet a été re-rédigé le 26 juillet 2026 pour la lisibilité ; la version d'origine est ici.
* Si, comme un des premiers lecteurs, Sébastien M. (merci à lui !) vous êtes mathématicien, vous aurez remarqué que l'opération décrite au début de ce billet ne marche pas. C'est celle que j'avais d’abord imaginée ; mais la bonne méthode va dans le sens opposé, de l'écriture (1 > 3 > 2) vers l'écriture (3 1 2) ; c'est cela qui définit une fonction, un "mapping", parmi les permutations circulaires.